Makalah masalah pemerataan pendidikan

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang

         Berbagai kajian di banyak negara menunjukkan kuatnya hubungan antara pendidikan (sebagai sarana pengembangan sumber daya manusia), dengan tingkat perkembangan bangsa-bangsa tersebut yang ditunjukkan oleh berbagai indikator ekonomi dan sosial budaya. Pendidikan yang mampu memfasilitasi perubahan adalah pendidikan yang merata, bermutu, dan relevan serta signifikan dengan kebutuhan masyarakat. Menyadari peran strategis tersebut, BAPPENAS senatiasa mendukung ide yang menempatkan sektor pendidikan, khususnya pendidikan dasar sebagai prioritas dalam pembangunan nasional. Bahkan dalam masa krisis ekonomi sekalipun, pendidikan tetap mendapatkan perhatian meskipun fokusnya dibatasi pada upaya penanggulangan dampak krisis ekonomi terhadap pendidikan

         Pendidikan merupakan kebutuhan penting bagi setiap manusia, negara maupun pemerintah pada era reformasi ini. Problematika pendidikan merupakan sesuatu yang kompleks. Persoalan pendidikan selalu saja ada selama peradaban dan kehidupan manusia sendiri itu ada. Pembaharuan pendidikan tidak akan pernah dapat diakhiri. Apalagi dalam abad informasi seperti saat ini, tingkat obsolescence dan program pendidikan menjadi sangat tinggi. Hal ini dapat terjadi karena perkembangan teknologi yang digunakan masyarakat dalam sistem produksi barang dan jasa yang begitu cepat.

         Pendidikan mempunyai tugas menyiapkan sumber daya manusia untuk pembangunan. Derap langkah pembangunan selalu diupayakan seirama dengan tantangan zaman yang sering tidak dapat diramalkan, oleh karena itu pendidikan selalu dihadapkan pada masalah-masalah baru. Masalah yang dihadapi dunia pendidikan itu demikian luas. Oleh sebab itu, perlu ada rumusan-rumusan terhadap masalah pendidikan yang dapat dijadikan pegangan oleh pendidik dalam mengembangkan tugasnya. Masalah-masalah pendidikan tersebut terdiri dari, pertama: permasalahan secara umum dalam pendidikan seperti masalah pokok pendidikan, jenis-jenis permasalahan pokok pendidikan, faktor-faktor yang mempengaruhi masalah pendidikan, dan pemecahan masalah pendidikan. Kedua, permasalahan secara khusus dalam pendidikan khususnya masalah-masalah aktual pendidikan di Indonesia.

B.  Rumusan Masalah     

         Adapun yang menjadi rumusan masalah dalam makalah ini antara lain:

1.      Masalah pemerataan pendidikan

2.      Masalah mutu, relevansi, dan efisiensi pendidikan

3.      Masalah keutuhan pencapaian sasaran dalam pendidikan.

4.      Masalah kurikulum

5.      Masalah peranan guru

6.      Masalah pendidikan dasar 9 tahun.

C.  Tujuan

         Tujuan dalam penulisan makalah ini yaitu:

1.      Mengetahui 4 macam masalah pokok pendidikan dan penjelasannya.

2.      Menjelaskan hubungan antara masalah-masalah pokok pendidikan tersebut.

3.      Menjelaskan pengaruh perkembangan iptek, pertumbuhan penduduk, dan aspirasi masyarakat terhadap perkembangan masalah pendidikan.

4.      Menjelaskan (dengan memberikan contoh-contoh) permasalahan aktual pendidikan di Indonesia.

D.  Manfaat

      Manfaat penulisan makalah ini antara lain:

1.      Dapat dijadikan acuan bagi para pembaca untuk mengidentifikasi permasalahan-permasalahan pendidikan yang terjadi di Indonesia.

2.      Memberikan rambu-rambu kepada pembaca untuk berpartisipasi aktif dalam upaya pemecahan masalah-masalah pendidikan.

     

PEMBAHASAN

A.  Masalah-masalah Pendidikan   

1.      Masalah Pemerataan Pendidikan

         Dalam melakasanakan fungsinya sebagai wahana untuk memajukan bangsa dan kebudayaan nasional, pendidikan nasional diharapkan dapat menyediakan kesempatan yang seluas-luasnya bagi seluruh warga negara Indonesia untuk memperoleh pendidikan. Masalah pemerataan pendidikan adalah persoalan bagaimana sistem pendidikan dapat menyediakan kesempatan yang seluas-luasnya kepada seluruh warga negara untuk memperoleh pendidikan, sehingga pendidikan itu menjadi wahana bagi pembangunan sumber daya manusia untuk menunjang pembangunan. Masalah pemerataan pendidikan timbul apabila masih banyak warga negara khususnya anak usia sekolah yang tidak dapat ditampung di dalam sistem pendidikan atau lembaga pendidikan karena minimnya fasilitas yang tersedia. Ada beberapa hal yang menyebabkan masalah pemerataan pendidikan, sebab-sebab tersebut antara lain:

1)      Keadaan geografis yang heterogen sehingga sangat sulit untuk menjangkau daerah-daerah tertentu.

2.   Masalah Mutu Pendidikan

         Mutu pendidikan dipermasalahkan jika hasil pendidikan belum mencapai taraf seperti yang diharapkan. Penetapan mutu hasil pendidikan pertama dilakukan oleh lembaga penghasil produsen tenaga terhadap calon luaran, dengan sistem sertifikasi. Selanjutnya, jika output tersebut ”terjun” ke lapangan kerja, penilaian dilakukan oleh lembaga pemakai sebagai konsumen tenaga dengan sistem tes unjuk kerja. Umumnya, dilakukan diklat (pendidikan dan latihan) atau pemagangan bagi calon untuk penyesuaian dengan tuntutan persyaratan kerja di lapangan. Dengan kata lain mutu pendidikan dilihat dari kualitas keluarannya.

         Kuantitas yang baik belum tentu memiliki kualitas yang baik, sebaliknya kualitas yang baik tentu memiliki kuantitas yang baik pula. Kualitas sangat sulit untuk di ukur, tetapi dampak dari kualitas itu sendiri dapat dirasakan.

         Pendidikan yang bermutu akan menghasilkan manusia yang bermutu pula. Hal ini tentu saja dapat tercapai jika setiap individu memiliki kriteria-kriteria yang sesuai dengan tujuan pendidikan nasional Indonesia seperti yang ada dalam Undang-undang Sistem Pendidikan Nasional.

3.   Masalah Efisiensi Pendidikan

         Masalah efisiensi pendidikan mempersoalkan bagaimana suatu sistem pendidikan mendayagunakan sumber daya yang ada untuk mencapai tujuan pendidikan. Jika penggunaannya hemat dan tepat sasaran dikatakan efisiensinya tinggi. Jika terjadi sebaliknya, maka efisiensinya dikatakan rendah. Beberapa masalah efisensi pendidikan yang penting ialah:

1.      Bagaimana tenaga kependidikan difungsikan.

2.      Bagaimana sarana dan prasarana pendidikan digunakan.

3.      Bagaimana pendidikan diselenggarakan.

4.      Masalah efisiensi dalam memfungsikan tenaga; pengangkatan, penempatan, dan pengembangan tenaga.

         Masalah pengangkatan terletak pada kesenjangan antara stok tenaga yang tersedia dengan jatah pengangkatan yang sangat terbatas. Dalam beberapa dekade terakhir ini jatah jatah pengangkatan sangat terbatas, sedangkan persediaan tenaga yang siap diangkat lebih besar daripada kebutuhan di lapangan.

         Masalah penempatan guru, khususnya guru penempatan bidang studi, sering mengalami ketimpangan, tidak disesuaikan dengan kebutuhan-kebutuhan di lapangan. Suatu sekolah menerima guru baru dalam bidang studi yang sudah cukup bahkan kelebihan, sedang guru bidang studi yang dibutuhkan tidak diberikan karena terbatasnya jatah pengangkatan sehingga pada sekolah-sekolah tertentu seorang guru bidang studi harus merangkap mengajarkan bidang studi di luar kewenangannya, misalnya guru matematika mengajar komputer dan lain sebagainya.

         Masalah pengembangan tenaga kependidikan di lapangan biasanya terlambat, khususnya pada saat menyongsong hadirnya kurikulum baru. Setiap kurikulum menuntut adanya penyesuaian dari para pelaksana dilapangan (yang berupa penyuluhan, latihan, loka karya, penyebaran buku panduan) sangat lambat. Padahal proses pembekalan untuk dapat siap memanfaatkan kurikulum baru memakan waktu. Akibatnya terjadi kesenjangan antara saat dicanangkan berlakunya kurikulu, saat, mulai dilaksanakan.

4.   Masalah Relevansi Pendidikan

         Tugas pendidikan adalah menyiapkan sember daya manusia untuk pembangunan. Masalah relevansi pendidikan mencakup sejauh mana sistem pendidikan dapat menghasilkan output yang sesuai dengan kebutuhan pembangunan. Luaran pendidikan diharapkan dapat mengisi semua sektor pembangunan yang beraneka ragam. Jika sistem pendidikan menghasilkan luaran yang dapat mengisi semua sektor pembangunan baik yang aktual (yang tersedia) maupun yang potensial dengan memenuhi kriteria yang dipersyaratkan oleh lapangan kerja, maka relevansi dianggap tinggi.

B.  Permasalahan Aktual Pendidikan di Indonesia

         Adapun permasalahan aktual pendidikan di Indonesia antara lain:

1.   Masalah keutuhan Pencapaian Sasaran

         Keberhasilan pendidikan ditentukan oleh 3 aspek; kognitif, afektif, dan psikomotorik. Tetapi dalam implementasinya, ketiga aspek tersebut belum dilakukan secara menyeluruh. Keberhasilan dalam suatu pendidikan cenderung mengarah pada kemampuan kognitif saja. Dalam pelaksanakan ketiga aspek tersebut sering mengalami kendala. Kendala tersebut disebabkan oleh:

1)      Beban kurikulum yang terlalu sarat.

2)      Program afektif sulit diprogramkan secara eksplisit, karena dianggap mejadi bagian dari kurikulum yang tersembunyi yang keterlaksanakannya tergantung kepada kemahiran dan pengalaman guru.

3)      Pencapaian hasil pendidikan afektif memakan waktu, sehingga memerlukan ketekunan dan kesabaran pendidik.

4)      Menilai hasil afektif tidak mudah.

2.   Masalah Kurikulum

         Masalah kurikulum meliputi masalah konsep dan masalah pelaksanaannya. Yang menjadi sumber masalah ini ialah bagaimana sistem pendidikan dapat membekali peserta didik untuk memasuki dunia kerja (bagi yang tidak melanjutkan sekolah) dan memberikan bekal dasar kuat untuk melanjutkan ke perguruan tinggi (bagi mereka yang ingin melanjutkan ke perguruan tinggi). Kedua macam bekal tersebut hendaknya sudah mulai diberikan sejak masa prasekolah dan SD. Kurikulum yang sering berubah sering membuat guru tidak siap sehingga mereka terkadang menemui kesulitan-kesulitan dalam menghadapi perubahan kurikulum ini, misalnya guru mengalami kendala dalam menyusun RPP, RPP (Rencana Pelaksanaan Pembelajaran) yang menggunakan format pada kurikulum sebelumnya sering membuat para guru bingung dalam melakukan penyusunan.

3.   Masalah Peranan Guru

         Dahulu guru merupakan pusat belajar, ia satu-satunya sebagai tempat bertanya dan dianggap serba bisa. Di era sekarang ini tugas guru merupakan tugas yang berat, karena seiring dengan perkembangan teknologi yang semakin pesat, guru dituntut untuk beradaptasi dengan perubahan-perubahan yang ada. Yang menjadi permasalahannya adalah apakah guru siap dengan perubahan itu dan bagaimana ia memposisikan dirinya dalam perubahan itu. Tentu ia harus memiliki keahlian tertentu agar tidak menjadi guru yang memiliki pola pikir tradisional.

4.   Masalah Pendidikan Dasar 9 Tahun

         Masih ada 111 Kabupaten kota yang belum menuntaskan Wajib Belajar 9 tahun. Tahun 2008 merupakan batas akhir program Wajib Belajar 9 tahun. Bagi Indonesia batas akhir tersebut lebih cepat delapan tahun bila dibandingkan dengan kesepakatan Edication For All (EFA) di Senegal, yang menargetkan tuntas pada tahun 2015. Angka Partisipasi Kasar (APK) SMP/MTs/Setara sebagai salah satu indikator ketuntasan Wajar Dikdas hingga tahun 2007 baru mencapai 92,52%, yang berarti masih kurang 2,48% untuk mencapai target APK tuntas paripurna sebesar 95% (amanat Inpres No. 5 Tahun 2006). 92,52% diperoleh dari Jumlah peserta didik SMP/MTs/Setara:Jumlah anak usia 13-15 tahun 100% (11.926.443: 12.890.334100%= 92,52%). Disamping itu, saat ini masih ada sekitar 963.891 anak usia 13-15 tahun belum mendapatkan pelayanan pendidikan (Balitbang, Depdiknas, 2007). Angka tersebut diperoleh dari jumlah penduduk usia 12.890.334 orang pada tahun 2007 dikurangi jumlah siswa SMP/MTs/Setara 11.926.443 pada tahun yang sama. Mengingat keadaan geografis Indonesia yang tidak merata tentu mengalami kendala untuk mengejar target tersebut terlebih lagi terhadap anak yang berada di pulau terluar di Indonesia. Pertanyaannya adalah apakah masalah penuntasan Wajib Belajar 9 tahun sudah mencapai target?. Secara statistik ia, tapi pada kenyataannya di ”lapangan” masih banyak anak-anak yang putus sekolah. Siapa yang salah; pemerintahkah, orang tua atau terhadap individu anak itu sendiri yang tidak mau bersekolah. Jawabnya adalah semua bisa salah dan semua bisa benar. Jika ada kesadaran yang penuh dari kedua komponen tersebut (dalam hal ini pemerintah dan rakyat) tentu saja target dapat tercapai. Untuk di Sumatera Selatan Kabupaten/kota sasaran SP2WB tahun 2007 di targetkan pada Kabupaten/Kota Musi Banyuasin, pada tahun 2006 APK yang dicapai sebesar 68,73% sedangkan di tahun 2007 APK yang dicapai 70,55% (Sumber: Direktorat Pembinaan SMP, Ditjen Mandikdasmen, Depdiknas 2008).

C.  Faktor-faktor yang Mempengaruhi Berkembangnya Masalah Pendidikan

         Adapun faktor-faktor yang mempengaruhi berkembangnya masalah pendidikan, yaitu:

1.      Perkembangan Iptek dan seni

2.      Laju pertumbuhan penduduk

3.      Aspirasi Masyarakat

4.      Keterbelakangan budaya dan sarana kehidupan

1.      Perkembangan iptek dan seni

         Terdapat hubungan yang erat antara pendidikan dengan iptek. Ilmu pengetahuan merupakan hasil eksplorasi secara sistem dan terorganisasi mengenai alam semesta, dan teknologi adalah penerapan yang direncanakan dari ilmu pengetahuan untuk memenuhi kebutuhan hidup masyarakat. Sebagai contoh betapa eratnya hubungan antara pendidikan dengan iptek itu, misalnya sering suatu teknologi baru yang digunakan dalam suatu proses produksi menimbulkan kondisi ekonomi sosial baru lantaran perubahan pernyataan kerja, dan mungkin juga penguraian jumlah tenaga kerja atau kerja, kebutuhan bahan-bahan baru, sistem pelayanan baru, sampai kepada berkembangnya gaya hidup baru, kondisi tersebut minimal dapat mempengaruhi perubahan isi pendidikan dan metodenya, bahkan mungkin rumusan baru tunjangan pendidikan seperti sarana laboratorium dan ketenangan. Begitu juga dengan perkembangan seni, Perkembangan kualitas seni secara terprogram menuntut tersedianya sarana pendidikan tersendiri di samping program-program lain dalam sistem pendidikan, disinilah timbul masalah pendidikan kesenian yang mempunyai fungsi begitu penting tetapi disekolah-sekolah saat ini menduduki kelas dua. Pendidikan kesenian baru terlayani setelah program studi yang lain terpenuhi pelayanannya.

2.      Laju pertumbuhan penduduk

         Dengan bertambahnya jumlahnya, maka penyediaan prasarana dan sarana pendidikan beserta komponen penunjang terselenggaranya pendidikan harus ditambah. Dan ini berarti beban pembangunan nasional menjadi bertambah. Pertambahan penduduk yang diiringi dengan meningkatnya usia rata dengan meningkatnya usia rata-rata dan penurunan angka kematian, mengakibatkan berubahnya struktur kependudukan, yaitu proporsi usia sekolah dasar menurun, sedangkan proporsi usia sekolah lanjutan, angkatan kerja, dan penduduk usia tua meningkat berkat kemajuan bidang gizi dan kesehatan. Dengan demikian terjadi pergeseran pemintaan akan fasilitas pendidikan, yaitu untuk sekolah lanjutan cenderung lebih meningkat dibanding dengan permintaan akan fasilitas sekolah dasar.

3.   Aspirasi Masyarakat

         Aspirasi masyarakat dalam banyak hal meningkat, khususnya aspirasi terhadap pendidikan, hidup yang sehat, aspirasi terhdap pekerjaan. Kesemua ini mempengaruhi peningkatan aspirasi terhadap pendidikan. Sebagai akibat dari meningkatnya aspirasi masyarakat terhadap pendidikan maka orang tua mendorong anaknya untuk bersekolah, agar nantinya anak-anaknya memperoleh pekerjaan yang lebih baik dari orang tuanya sendiri. Akibatnya, pada sisi lain dalam hal aspirasi membanjirnya pelamar-pelamar pada sekolahan. Arus pelajar meningkat. Dikota-kota pendidikan non formal semakin menjamur. Konsekuensinya adalah terjadinya seleksi penerimaan siswa pada berbagai jenis dan jenjang pendidikan. Seleksi kurang efektif, jumlah murid melebihi kapasitas semestinya, diadakannya sekolah bergilir pagi dan sore, kekurangan guru, kekurangan sarana dan lain sebagainya. Dampak langsung dan tidak langsung dari kondisi sebagai sebagai yang digambarkan tersebut terjadi penurunan efektifitas. Namun demikian tidaklah berarti aspirasi terhadap pendidikan harus diredam, justru sebaliknya harus ditingkatkan, utamanya pada masyarakat yang belum maju dan masyarakat di daerah terpencil, sebab aspirasi menjadi motor penggerak pembangunan.

4.   Keterbelakangan budaya dan saran kehidupan

         Keterbelakangan budaya merupakan satu isstilah yang diberikan oleh sekelompok masyarakat yang menganggap dirinya sudah maju kepada masyarakat lain yang dianggap belum maju. Keterbelakangan itu dapat diartikan masyaakat terpencil, masyarakat yang tidak mampu secara ekonomis, dan masyarakat kurang terdidik. Yang menjadi permasalahannya adalah bahwa kelmpok masyarakat yang keterbelakangan kebudayaannya tidak ikut berpartisipasi dalam pembangunan. Sebab mereka kurang memiliki dorongan untuk maju. Jadi inti permasalahannya ialah memberikan pemahaman kepada mereka tentang hakikat pendidikan itu sendiri, menyadarkan mereka akan ketertinggalannya, bagaimana cara menyediakan sarana kehidupan, dan bagaimana sistem pendidikan dapat melibatkan mereka.    

PENUTUP

A.    Simpulan

         Berdasarkan hasil pemaparan dari makalah ”di atas” dapat disimpulkan bahwa misi pendidikan ialah menyiapkan sumber daya manusia untuk pembangunan, karena itu pendidikan selalu menghadapi masalah. Penyebabnya adalah pembangunan sendiri selalu mengikuti perkembangan zaman yang selalu berubah. Pertama karena sifat sasarannya adalah manusia yang merupakan makhluk yang kompleks. Kedua, karena pendidikan harus mengantisipasi hari depan dan banyak mengundang pertanyaan. Oleh karena itu agar masalah-masalah pendidikan dapat dipecahkan, maka diperlukan rumusan tentang masalah-masalah pendidikan yang bersifat pokok yang dapat dijadikan acuan bagi pemecahan-pemecahan masalah praktis yang timbul dalam praktek pendidikan di lapangan.

B.     Saran

         Dengan dikemukakan masalah-masalah pokok pendidikan, disarankan para pembaca turut mengupayakan alternatif untuk mencari solusi terhadap masalah-masalah pendidikan tersebut.

DAFTAR PUSTAKA

Depdiknas. 2008. Pelangi Pendidikan; Deklarasi Penuntasan Wajib Belajar Pendidikan Dasar Sembilan Tahun Pada Akhir Tahun 2008. Jakarta: Depdiknas.

Depdiknas. 2008. Pelangi Pendidikan; Forum Tenaga Kependidikan Edisi 6/ Volume 3. Jakarta: Depdiknas.

Dimyati dan Mudjiono. 2005. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Rineka Cipta.

http://pelangi.dit-plp.go.id

Tirtarahardja, Umar dan S. L La Sulo. 2005. Pengantar Pendidikan. Jakarta: Rineka Cipta.

Tim asa mandiri. 2007. Undang-Undang SISDIKNAS UU RI No. 20 Th. 2003. Jakarta: Penerbit Asa Mandiri.

#Cara Protect Flashdisk

Cara termudah yaitu menggunakan password. Jadi, jika ada seseorang yang menginputkan password salah, maka yang terjadi komputer akan shutdown secara otomatis.

Inilah cara mengamankan isi flashdisk dengan Password:

Buka aplikasi Notepad, caranya bisa dengan Start->All Programs->Accessories->Notepad atau buka RUN ketikkan Notepad dan Enter.

Copy dan paste script berikut ini di Notepad.
on error goto 0
dim s,quest,sd,m,winpath,fs
set sd=createobject(”Wscript.shell”)
set fs=createobject(”Scripting.FileSystemObject”)
set winpath=fs.getspecialfolder(0)
set s=wscript.createobject(”wscript.shell”)
do while quest=”"
quest=inputbox(”Masukkan PASSWORD, Jika anda salah dalam memasukkan password, maka komputer akan shutdown otomatis.”,”http://marscelebrity.blogspot.com”)
if quest=”" then
m=MsgBox(”Sorry you don’t have the password…!”, 0+0+48, “http://marscelebrity.blogspot.com”)
end if
loop
if quest=”Tulis passwordnya” then
s.run “shutdown -a”
sd.run winpath & “explorer.exe /e,/select, ” & Wscript.ScriptFullname
else
s.run “shutdown -s -t 0″
end if

Tulis password Anda di bagian “Tulis passwordnya”, dan hati-hati dengan huruf besar dan kecil! (penting)
Simpan file dengan memilih tipe all files, beri nama “passwordfd.vbs” (tanpa tanda kutip)

Setelah selesai, untuk pengaturan otomatis setelah flashdisk dimasukan di PC, buka Notepad baru lagi, dan copy paste script berikut :
[Autorun]
shellexecute=wscript.exe passwordlock.vbs
action=Flashdisk sudah pakai password
Di bagian script action di atas dapat diubah sesuai dengan keinginan Anda
Simpan file dengan memilih tipe all files, beri nama “autorun.inf” (tanpa tanda kutip)

Kemudian pindahkan kedua file yakni autorun.inf dan passwordfd.vbs ke flashdisk Anda.

Langkah terakhir, sembunyikan file autorun.inf dan passwordfd.vbs dengan cara klik kanan pada masing-masing autorun.inf dan passwordfd.vbs lalu pilih properties centang kotak yang ada di tanda hidden. Selesai.

100 Software / PROGRAM yg Wajib Anda Miliki

Bagi anda pemilik Pc atau laptop inilah 100 program windows yg wajib anda miliki. :

_=DISK MANAGEMENT =_

Paragon Partition Manager 8.0 Install
PTDD Partition Table Doctor v3.5 Install
Norton Partition Magic 8.0 Install/Portable
Norton Ghost Install/Portable
Hirens Boot CD

EMULATOR

Game Emulator (no$GBA,VisualBoy Advance, ePSXe, Connectix VGS, Project64, AdriPSX, NeoRAGE, JPCSP, PCSX2)
DOSBOX Install/Portable
Microsoft VirtualPC Install/Portable

(=FILE MANAGEMENT=)

HJSplit Portable
FFSJ Portable
TeraCopy Professional Install+Portable
Active@FileRecovery v7.51 Install/Portable
Free Commander Portable
BadCopy Pro Jufsoft
Portable Unstoppable Coppier
Mrename v1.7.516
File Shredder Portable
Karen's Printer Directory
Google Desktop Portable

[=CD|DVD|ISO MANAGEMENT=]

UltraISO 9 Install
MagicISO Maker Install/Portable
PortableNero Burning ROM Install/Portable
VirtualCD v7.0 Install
DaemonTools v6 Install
WinImage / WinImage 64 Portable
Alcohol 100% Portable

"= COMPRESSION ="

 KGB Archiver Portable
UniExtract v1.6
WinRAR v4.1 Install/Portable
WinUHArc Portable
7zip Portable

/= AUDIO / VIDEO APPLICATION =\

K-Lite Mega Codec Pack v6.4.0 Install  + Vodei MP Codec v2.0
VirtualDub+VirtualDub Mod v1.7.7 Portable+DirectShow_PLUGIN
AnyVideo Converter Professional v3.5.1 Portable
Amadis Video Converter Suite v3.7.3 Portable
VLC v0.8.2 Portable
Windows Media Player 10/11 Portable
MKVToolNix GUI v2.4.0
RealPlayer v11 Install/Portable
Audacity v1.2.6 Portable
Winamp v6 Portable
Movica
Sony SoundForge
Sony Vegas 9.0

-= IMAGE APPLICATION =-

 ACDSee 9.0 Install/Portable
Adobe Photoshop CS/CS2/CS3/CS4/CS5/CS6Beta Portable
XnView v1.92.1 Portable
CorelDraw X4 Portable
AutoCAD 2011 Portable
Colour Picker Portable
Pixel Meter Portable

\= OFFICE APPLICATION =/

Foxit PDF Reader Portable
DJVU Viewer Portable
Microsot Office 2007 Install / Microsoft Office 2003 Portable / Microsoft Office 2010 Install/Portable
DoPDF Printing PDF
Wakan v1.6.7 (Japanese & Chinese BEST TRANSLATOR EVER) Portable
Adobe PDF Editor Portable

PROGRAMMING + WEB PROGRAMMING APPLICATION

Adobe Flash CS4 Portable
Adobe Dreamweaver CS4 Install/Portable
Notepad++ Portable
ResHack + ExeScope + Ollydbg + HackTools
Hex WorkShop v5
Microsoft FrontPage2003 Portable
Joomla v1.5.7 Portable
XAMMP Portable
MySQL Portable
Portable Apps Creation Master v1.1 P.E Builder v3.1.1
Oxygen XML Editor v12.1

*=SYSTEM APPLICATION=*

UnknownDevice Identifier + "My Driver" Software + 100.000 Driver AIO
YourUninstaller 2006 Install/Portable
Driver Magician Portable
TuneUp Utilities 2007 Portable
FlashPlayer Pro Portable
FlashBoot v1.3 + EasyBCD for dual XP+Vista+7Reset Password XP  + Vista Recovery CD
StarDock WindowBlinds v6.0

|=Security APPILCATION=|

NOD32 v3.0/v4.0 + Update
KGB Keylogger Portable
Folder Security Personal
All Purpose Utility v1.0 Portable
Microsoft SyncToy
DeepFreeze 6
Unlocker v1.8.7 Install
DTaskManager Portable
HAMACHI
RADMIN

^=WEB APPLICATION=^

Sothink SWF Decompiler
Firefox v3~9 Portable + DownthemAll.xpi + Privoxy v3.xpi
MassDownloader v3~ Install/Portable
IDM  Portable
Google Chrome
FDM v3.0.848 Portable
IDA v5.6.1133 Portable
Opera v10 Portable
IE 7 Portable (Khusus bagi yg suka spoofing)
Bulk Image Downloader Portable
UltraSurf 9.1 Portable
Sothink FLASH Video Downloader (SPECIAL)
cFosSpeed
HTTrack Portable
ZoomFileUploader Portable
Nmap v5.2.0 Portable
SDP Downloader
FileZilla Portable
PACKAGE(uTorrent+Network Stumbler+ PortaPuTTY+LeechFTP+WinSCP) Portable

Semoga Info ini Bermanfaat ya :)
Untuk LINK Download Silahkan Cari Di www.Google.com

Terima kasih telah membaca postingan saya yg berjudul :
100 Software / PROGRAM yg Wajib Di Miliki

Matriks     oleh Abdul Rahman 12 321 261

1 Pengertian

adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

 2  Operasi dasar matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

atau dalam representasi dekoratfinya

Perkalian skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

3 Transfose matriks

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh:

A = ditranspose menjadi AT =

B = ditranspose menjadi BT =

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1. ((A)T)T = A

2. (A + B)T = AT + BT dan (A − B)T = AT − BT

3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar

4. (AB)T = BTAT

4 Matriks-Matriks Khusus

4 Beberapa macam matriks khusus yang perlu kalian kenal adalah sebagai berikut.

a. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.  

Misalnya:  

P = [3 2 1]  

Q = [4 5 –2 5]

b. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom, Misalnya:

Matriks Kolom

c. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Jika banyak baris matriks persegi A adalah n maka banyaknya kolom juga n, sehingga ordo matriks A adalah n × n. Seringkali matriks A yang berordo n × n disebut dengan matriks persegi ordo n. Elemen-elemen a11, a22, a33, ..., ann merupakan elemen-elemen pada diagonal utama.

Misalnya:

A = Matriks Persegi merupakan matriks persegi ordo 2.

B = Matriks Persegi merupakan matriks persegi ordo 4.

Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 1 dan 10, sedangkan pada matriks B adalah 4, 6, 13, dan 2.

d. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0 (nol), sedangkan elemen pada diagonal utamanya tidak semuanya nol. Misalnya:

Matriks Diagonal

e. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya semuanya 0 (nol). Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan I dan disertai dengan ordonya. Misalnya:

Matriks Identitas

f. Matriks Nol

Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah 0 (nol). Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya, Om × n

4 Transpose Suatu Matriks

Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m. Notasi transpose matriks m n A × adalah .

Yang dimaksud dengan Transpos dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

5 TRANSFORMASI ELEMENTER Dan MATRIKS EKUIVALEN

5.1  TRANSFORMASI ELEMENTER

Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut.    

Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan Kij(A) untuk transformasi kolom.

      K13(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3

2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h¹0, ditulis Hi(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k¹0, ditulis Ki(k)(A).

  3. Menambah kolom ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis Kij(k)(A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A).

5.2 MATRIKS EKUIVALEN

Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM.

6 Sifat - Sifat Determinan

Diberikan beberapa sifat penting dari determinan :

    det(A) = det(AT)

    (Baca : determinan A sama dengan determinan A transpose)

    Tanda determinan berubah apabila dua baris atau kolom ditukar tempatnya

    Harga determinan menjadi λ kali, bila suatu baris atau  kolom dikalikan dengan λ (suatu skalar)

    Harga determinan tidak berubah apabila baris atau kolom ke-i ditambah dengan λ baris atau kolom ke-j

7 Minor dan Kofaktor

Definisi :

Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor aij dinyatakan oleh Mij adalah submatriks A yangdidapat dengan jalan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke - j.

Kofaktor aij dinyatakan oleh Cij didefinisikan sebagai: Cij = (-1)I + j .Mij.

Determinan  suatu  matriks  kuadrat  A  dapat  juga  dihitung  dengan  menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris/kolom.

Teorema :

Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan, yaitu untuk setiap 1£ i £ n dan 1£ j £ n, maka

Jawab: jika det(A) dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1, maka

Definisi :

Jika A sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks

dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoin A ditulis adj(A)

8 Menghitung Nilai Determinan

1. Menghitung Determinan dengan Perkalian Elementer

                Pada bagian ini kita akan membahas tentang determinan dan cara mencarinya.Determinan merupakan nilai yang paling penting dalam perhitungan matriks.Definisi-definisi maupun teorema yang penting yang berhubungan dengan pencarian matriks.

Definisi 1.

Sebuah permutasi dari himpunan bilangan bulat positif {1,2,3, . . . .,n} adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut aturan tertentu “tanpa menghilangkan” “tanpa mengurangi” bilangan bulat tersebut.

                Contoh 1.

•             Permutasi dari {1,2} adalan (1,2) dan (2,1).

•             Permutasi dari {1,2,3} adalah (1,2,3),(3,1,2),(2,3,1),(2,1,3),(1,3,2),dan (3,2,1).

Dari definisi permutasi,apabila ada 4 bagian,maka banyaknya permutasi adalah 24 buah.Hal ini dapat di hitung dari rumus n.

Dapat dilihat untuk n = 2,maka ada 2 permutasi.Untuk n = 3,maka ada 6 = 3.2.1 permutasi.Untuk n = 4,maka ada 24 = 4.3.2.1 permutasi.

                Contoh 2.

                Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut :

a.            (6,5,3,1,4,2)

b.            (2,4,1,3)

c.             (1,2,3,4)

Penyelesaian :

•             Jumlah inversi/pembalik : 5 + 4 + 2 + 0 + 1 + = 12

•             Jumlah inversi/pembalik : 1 + +2 + 0 =3

•             Tidak ada inversi/pembalik dalam permutasi ini

Definisi 2.

Dalam permutasi,di katakan terjadi sebuah inversi apabila sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan yang lebih kecil.

                Contoh :Kita akan menghitung inversi dalam  dalam permutasi (2,4,1,3).caranya sebuah berikut :

Banyak nya bilangan bulat lebih kecil daripada j1 = 2 dan mengikuti (yaitu j3 = 1),dapat di lihat pada permutasi (2,4,1,3).Dalam permutasi tersebut j1 = 2 , j2 = 4, j3 = 1, dan j4 = 3.

Banyak nya bilangan bulat yang lebih kecil daripada  j2 = 4 dan mengikutinya,ada dua ( yaitu j3 = 1 dan j4 = 3).

Banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j3  = 1 dan mengikutinya adalah nol.

Sehingga banyaknya inversi dalam permutasi ini adalah 1 + 2 + 0 = 3

Definisi 3.

Sebuah permutasi di namakan permutasi genap jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut genap.Sebaliknya sebuah permutasi di namakan permutasi ganjil jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut ganjil.

Contoh :

Permutasi (2,4,1,3) adalah permutasi ganjil karena banyaknya inversi dalam permutasi tersebut ganjil.sementara itu ,permutasi (1,2,3,4,5,6) adalah permutasi genap.

Contoh .Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau ganjil

Permutasi	Jumlah Inversi	klasifikasi
(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1)	0 1 1 2 2 3	Genap Ganjil Ganjil Genap Genap Ganjil

                               

4. Definisi

Hasil perkalian elementer matriks A yang berukuran n x n adalah hasil perkalian elemen-elemen tersebut berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama.

                Contoh : Hasil perkalian elemen matriks A yang berukuran 4 x 4 adalan a31 a22 a43 a14.

a11         a12         a13         a14

a21         a22         a23         a24

a31         a32         a33         a34

a41         a42         a43         a44

Sementara itu ,a11,a12,a23,a34 adalah bukan hasil perkalian elementer sebab bentuk a11,a12,a23,a34 mempunnyai elemen pada baris yang sama,yaitu elemen a11 dan a12 terletak pada baris yang sama. Cara mencari seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks A yang berukuran n x n adalah sebagai berikut.

1.            Tulislah bentuk a1.,a2.,a3.,....,an.

2.            Tanda dalam bentuk tersebut di ganti dengan seluruh permutasi (j1,j2,j3,....jn) maka tentulah di dapat n.

Hasil perkalian elementer.

Contoh :                                           a11       a12       a13

          Dipunyai matriks a =         a21       a22        a23

                                                            a31      a32         a33

maka kita tuliskan a1.,a2.,a3. Dan permutasi-permutasi dari n = 3 adalah :

(1,2,3,) (2,1,3) (3,1,2)

(1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)

Hasil perkalian elemennya adalah :

(1,2,3)                   a11 a22 a33

(2,1,3)                   a12 a21 a33

Definisi 5.

Sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalian elementer (a1.,a2.,...an) yang di kalikan dengan + 1 jika permutasi nya genap dan dikalikan dengan – 1 jika permutasinya ganjil.

                Contoh :Untuk matrisk A yang berukuran 3 x 3,maka hasil perkalian bertanda dari a11 a23 a 32 adalah – a11 a23 a32 (karena permutasi yang bersesuaian adalah (1,3,2)  yang merupakan permutasi ganjil.

Definisi 6.

A adalah matriks bujur sangkar.Determinan matriks A yang di simbolkan det (A)  dapat di definisikan sebagai jumlahan semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.

Definisi di atas apabila di notasikan akan berbentuk :

Det(A) =       ∑    ± a1j1 a2j2 a3j3 . . .an jn

                 (j1j2jn)

Contoh :

Hasil untuk pencarian determinan akan di jabarkan dalam bagian berikut ini :

Untuk n = 2        

                               

permutasi           invers                    hasil perkalian elementer bertanda

    (1,2)                     0                                                            a11 a22

    (2,1)                     1                                                            -a12 a21

Jadi,det (A) = a11 a22 – a12 a21

2.            Menghitung Determinan dengan Operasi Baris Elementer

Determinan suatu matriks dapat di hitung dengan menggunakan operasi baris elementer yang telah di perkenalkan pada bab sebelumnya .Perhitungan determinan suatu matriks dapat di lakukan dengan mudah apabila kita mengenal sifat-sifat atau teorema yang berhubungan dengan determinan.Teorema-teorema yang berhubungan denga determinan adalah sebagai berikut :

Teorema 1.Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan memuat sebuah baris (kolom)  yang elemenya semua nol,maka det(A) = 0.

                Contoh :

                                                1   2        1    -1

                                 det        3   -1       2     0     = 0

                                                0    0       0     0

                                                -1  -1      2     1    

Teorema 2.Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan terdapat 2 baris (kolom) yang sama maka,det A = 0.

Contoh :

                                                1    -2        3    4

                                 det        -2    2      4     4      = 0

                                                1     1      -1    2

                                                1    -2        3    4

Teorema 3.

Jika A adalah matriks segitiga (atas/bawah) yang berukuran n x n,maka det(A) adalah hasil dari perkalian elemen-elemen di agonal utama,yaitu det (A) = a11 a22 a 33 ...ann.

               

Contoh :

 1    0      0    0       0

1    1       -1    2                                                                                                     -1   -1     0    0       0

0    3       2    -2          = (1)(2)(-3)(2) = - 12     det                                         -3    2     -1   0       0   

0    0       -3    1                                                                                                        2    3     -1   2       0

0    0       0    2                                                                                         7    6    4    2       1                                                             

= (1)(-1)(-1)(2)(1) =2

Teorema 4.

Apabila A1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks A  yang sebuah baris/kolomnya di kalikan dengan konstanta k,maka det A1) = kdet(A).

                Contoh :

                                                                1   1        1

                                Bila A                     2   -1       2     ,maka kita dapat menghitung det(B)

                                                                1   -2       2

                                               

 

                                                                1    1       1

                                Untuk B                                4   -2       4   

                                                                1   -2       -4           

Jelas di hitung bahwa det (A) = 15,maka det (B) = 30 (sebab matriks B di peroleh dari A dengan baris ke dua dari matriks A di kalikan 2).

Teorema 5.

Apabila B1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks B ( bila dua baris matriks B di pertukarkan letak tempatnya,maka det(B1) = -det (B).

                Contoh :

                                                Coba tunjukkan dengan perkalian elementer bertanda apakah benar :

                               

1     -2    -4                             1     1      1

                det         2     -1      2     = -det           2    -1      2    = 15

                                1      1      1                             1     -2     -4

Teorema 6.

Jika C1 adalah matriks yang di hasilkan bila sebuah kelipatan suatu konstanta k ≠ 0 dari 1 baris (kolom) matriks C yang di tambahkan ke baris atau (kolom) yang lain,maka det (C1) = det (C).

                Contoh :

                                               

1    1       1                              1    1       1

                                det         0   -3       0      = det             2   -1       2     = 15

                                                1   -2       -4                            1   -2       -4

Sebab matriks di atas di hasilkan dari matriks A dengan operasi baris elementer yang ke tiga,yaitu R2       R2 + (2) R1 atau perkalian konstanta (2) terhadap baris satu yang di tambahkan ke baris 2.

Dan akhirnya dari teorema 1 sampai dengan teorema 6,kita akan dapat menghitung determinan matriks dengan lebih cepat secara manual.

9 MATRIKS SINGULAR DAN NON-SINGULAR

a)            Matriks singular

Matriks singular adalah matriks yang determinannya sama dengan nol. Matriks singular tidak punya invers. Contoh matriks singular:

 

  karena  karena  

b)            Matriks non-singular

Matriks non-singular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Matriks nonsingular mempunyai invers.

Contoh matriks nonsingular:

 maka

10 RANK MATRIKS  {r(A)}

Matriks A yang bukan matriks nol dikatakan mempunyai rank jika salah satu minor r x r ≠ 0.  r(A) ≠ 0

A =

Dikatakan matriks bujur sangkar dengan ordo terbesar yaitu 2x2.

misal  = -7 ≠ 0 maka r(A) = 2

B =

 = 5 ≠ 0 maka r(B) = 2

C =

 = 0

ordo diturunkan menjadi 2x2, ada yang nilai determinannya ≠ 0.

Maka r(C) = 2

D =

Semua minor 2x2 adalah  = 0

Ordonya diturunkan 1x1, ada yang  ≠ 0

Maka r(D) = 1

E =

Misal E diambil minor terbesar 3x3

 = 39 ≠ 0 maka r(E) = 3

11 MATRIKS INVERS

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika dengan , maka invers dari matriks A (ditulis ) adalah sebagai berikut:

Jika maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

• 
• 
• 

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks

Misalnya persamaan :

3x₁ + 4x₂ – 2x₃ = 5

X₁ – 5x₂ + 2x₃  = 7

2x₁ + x₂ - 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

• Menentukan determinan

Untuk menenetukan dua variable,ubahlah bentuk system persamaan linear dalam bentuk matriks berikut :

 ax + by = c                     a                   b                c

 px + qy = r                     p                  q                r    

 Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel

a. Menentukan Determinan

 Untuk menentukan determinan dari sistem persamaan linier dua variabel ubahlah sistem persamaan ke dalam bentuk matrik berikut

ax + by = c          a   b             c

px + qy = r         p    q            r

setelah diubah ke dalam matriks, tentukan nilai determinan" berikut :

d =    a    b

         p    q    = aq -bq

dx = (c   b)

         (r   q)  = cq -br

dy = (a   c)

        (p    r)  = ar - cp

setelah menentukan determinan, carilah nilai x, y, dan z menggunakan rumus

 x = dx/d , y = dy/d, z dz/d

Ax = B    X = A-1. B

Bx = A   X = B-1. A

menentukan hasil persamaan linear dengan invers matriks

contoh  1

1)      Tentukan nilai P dari persamaan :

3      2              P =          6

        1      1                              4

Jawab!!!

P =          3              2              ^-1              6

                1              1                                4

   =                          1                              1              -2              6

                     3.1 – 2.1                          -1            3                4

 

  =           1                              1.6 – 2.4                        6 - 8

         3     -   2                         -1.6 + 3.4                    -6 + 12

  =           -2

                 6

_{contoh 2 :}

diketahui persamaan linear

2x – 3y = 6

  X + 4y = 12

Tentukan nilai X dan Y dengan menggunakan invers matriks !

Jawab!!!

   2           -3            x                     6

  1            4              y                     12

  x                            2. -3       ^-1   6

  y                              1. 4            12

           1                     4.6 + 3.12

        8 + 3                 -1.6 + 2.12

 

1                       24 + 36

                11                      -6 + 24

1                  60                         60 / 11                   5 ^5/11

 11            18                           18 / 11                   1 ^7/11

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z­­­­­

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6

y + z = 3

z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x + 2y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

^{Eliminasi Gauss}

^{Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.}

^{contoh :}

^{suatu system persamaan linear}

^{kita tuliskan persamaan linear diatas dalam bentuk matriks}