Matriks     oleh Abdul Rahman 12 321 261

1 Pengertian

adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

 2  Operasi dasar matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

atau dalam representasi dekoratfinya

Perkalian skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

3 Transfose matriks

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh:

A = ditranspose menjadi AT =

B = ditranspose menjadi BT =

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1. ((A)T)T = A

2. (A + B)T = AT + BT dan (A − B)T = AT − BT

3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar

4. (AB)T = BTAT

4 Matriks-Matriks Khusus

4 Beberapa macam matriks khusus yang perlu kalian kenal adalah sebagai berikut.

a. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.  

Misalnya:  

P = [3 2 1]  

Q = [4 5 –2 5]

b. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom, Misalnya:

Matriks Kolom

c. Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Jika banyak baris matriks persegi A adalah n maka banyaknya kolom juga n, sehingga ordo matriks A adalah n × n. Seringkali matriks A yang berordo n × n disebut dengan matriks persegi ordo n. Elemen-elemen a11, a22, a33, ..., ann merupakan elemen-elemen pada diagonal utama.

Misalnya:

A = Matriks Persegi merupakan matriks persegi ordo 2.

B = Matriks Persegi merupakan matriks persegi ordo 4.

Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 1 dan 10, sedangkan pada matriks B adalah 4, 6, 13, dan 2.

d. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0 (nol), sedangkan elemen pada diagonal utamanya tidak semuanya nol. Misalnya:

Matriks Diagonal

e. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya semuanya 0 (nol). Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan I dan disertai dengan ordonya. Misalnya:

Matriks Identitas

f. Matriks Nol

Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah 0 (nol). Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya, Om × n

4 Transpose Suatu Matriks

Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m. Notasi transpose matriks m n A × adalah .

Yang dimaksud dengan Transpos dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

5 TRANSFORMASI ELEMENTER Dan MATRIKS EKUIVALEN

5.1  TRANSFORMASI ELEMENTER

Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut.    

Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan Kij(A) untuk transformasi kolom.

      K13(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3

2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h¹0, ditulis Hi(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k¹0, ditulis Ki(k)(A).

  3. Menambah kolom ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis Kij(k)(A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A).

5.2 MATRIKS EKUIVALEN

Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM.

6 Sifat - Sifat Determinan

Diberikan beberapa sifat penting dari determinan :

    det(A) = det(AT)

    (Baca : determinan A sama dengan determinan A transpose)

    Tanda determinan berubah apabila dua baris atau kolom ditukar tempatnya

    Harga determinan menjadi λ kali, bila suatu baris atau  kolom dikalikan dengan λ (suatu skalar)

    Harga determinan tidak berubah apabila baris atau kolom ke-i ditambah dengan λ baris atau kolom ke-j

7 Minor dan Kofaktor

Definisi :

Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor aij dinyatakan oleh Mij adalah submatriks A yangdidapat dengan jalan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke - j.

Kofaktor aij dinyatakan oleh Cij didefinisikan sebagai: Cij = (-1)I + j .Mij.

Determinan  suatu  matriks  kuadrat  A  dapat  juga  dihitung  dengan  menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris/kolom.

Teorema :

Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan, yaitu untuk setiap 1£ i £ n dan 1£ j £ n, maka

Jawab: jika det(A) dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1, maka

Definisi :

Jika A sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks

dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoin A ditulis adj(A)

8 Menghitung Nilai Determinan

1. Menghitung Determinan dengan Perkalian Elementer

                Pada bagian ini kita akan membahas tentang determinan dan cara mencarinya.Determinan merupakan nilai yang paling penting dalam perhitungan matriks.Definisi-definisi maupun teorema yang penting yang berhubungan dengan pencarian matriks.

Definisi 1.

Sebuah permutasi dari himpunan bilangan bulat positif {1,2,3, . . . .,n} adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut aturan tertentu “tanpa menghilangkan” “tanpa mengurangi” bilangan bulat tersebut.

                Contoh 1.

•             Permutasi dari {1,2} adalan (1,2) dan (2,1).

•             Permutasi dari {1,2,3} adalah (1,2,3),(3,1,2),(2,3,1),(2,1,3),(1,3,2),dan (3,2,1).

Dari definisi permutasi,apabila ada 4 bagian,maka banyaknya permutasi adalah 24 buah.Hal ini dapat di hitung dari rumus n.

Dapat dilihat untuk n = 2,maka ada 2 permutasi.Untuk n = 3,maka ada 6 = 3.2.1 permutasi.Untuk n = 4,maka ada 24 = 4.3.2.1 permutasi.

                Contoh 2.

                Tentukan jumlah inversi dari permutasi berikut :

a.            (6,5,3,1,4,2)

b.            (2,4,1,3)

c.             (1,2,3,4)

Penyelesaian :

•             Jumlah inversi/pembalik : 5 + 4 + 2 + 0 + 1 + = 12

•             Jumlah inversi/pembalik : 1 + +2 + 0 =3

•             Tidak ada inversi/pembalik dalam permutasi ini

Definisi 2.

Dalam permutasi,di katakan terjadi sebuah inversi apabila sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan yang lebih kecil.

                Contoh :Kita akan menghitung inversi dalam  dalam permutasi (2,4,1,3).caranya sebuah berikut :

Banyak nya bilangan bulat lebih kecil daripada j1 = 2 dan mengikuti (yaitu j3 = 1),dapat di lihat pada permutasi (2,4,1,3).Dalam permutasi tersebut j1 = 2 , j2 = 4, j3 = 1, dan j4 = 3.

Banyak nya bilangan bulat yang lebih kecil daripada  j2 = 4 dan mengikutinya,ada dua ( yaitu j3 = 1 dan j4 = 3).

Banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j3  = 1 dan mengikutinya adalah nol.

Sehingga banyaknya inversi dalam permutasi ini adalah 1 + 2 + 0 = 3

Definisi 3.

Sebuah permutasi di namakan permutasi genap jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut genap.Sebaliknya sebuah permutasi di namakan permutasi ganjil jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut ganjil.

Contoh :

Permutasi (2,4,1,3) adalah permutasi ganjil karena banyaknya inversi dalam permutasi tersebut ganjil.sementara itu ,permutasi (1,2,3,4,5,6) adalah permutasi genap.

Contoh .Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau ganjil

Permutasi	Jumlah Inversi	klasifikasi
(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1)	0 1 1 2 2 3	Genap Ganjil Ganjil Genap Genap Ganjil

                               

4. Definisi

Hasil perkalian elementer matriks A yang berukuran n x n adalah hasil perkalian elemen-elemen tersebut berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama.

                Contoh : Hasil perkalian elemen matriks A yang berukuran 4 x 4 adalan a31 a22 a43 a14.

a11         a12         a13         a14

a21         a22         a23         a24

a31         a32         a33         a34

a41         a42         a43         a44

Sementara itu ,a11,a12,a23,a34 adalah bukan hasil perkalian elementer sebab bentuk a11,a12,a23,a34 mempunnyai elemen pada baris yang sama,yaitu elemen a11 dan a12 terletak pada baris yang sama. Cara mencari seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks A yang berukuran n x n adalah sebagai berikut.

1.            Tulislah bentuk a1.,a2.,a3.,....,an.

2.            Tanda dalam bentuk tersebut di ganti dengan seluruh permutasi (j1,j2,j3,....jn) maka tentulah di dapat n.

Hasil perkalian elementer.

Contoh :                                           a11       a12       a13

          Dipunyai matriks a =         a21       a22        a23

                                                            a31      a32         a33

maka kita tuliskan a1.,a2.,a3. Dan permutasi-permutasi dari n = 3 adalah :

(1,2,3,) (2,1,3) (3,1,2)

(1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)

Hasil perkalian elemennya adalah :

(1,2,3)                   a11 a22 a33

(2,1,3)                   a12 a21 a33

Definisi 5.

Sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalian elementer (a1.,a2.,...an) yang di kalikan dengan + 1 jika permutasi nya genap dan dikalikan dengan – 1 jika permutasinya ganjil.

                Contoh :Untuk matrisk A yang berukuran 3 x 3,maka hasil perkalian bertanda dari a11 a23 a 32 adalah – a11 a23 a32 (karena permutasi yang bersesuaian adalah (1,3,2)  yang merupakan permutasi ganjil.

Definisi 6.

A adalah matriks bujur sangkar.Determinan matriks A yang di simbolkan det (A)  dapat di definisikan sebagai jumlahan semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.

Definisi di atas apabila di notasikan akan berbentuk :

Det(A) =       ∑    ± a1j1 a2j2 a3j3 . . .an jn

                 (j1j2jn)

Contoh :

Hasil untuk pencarian determinan akan di jabarkan dalam bagian berikut ini :

Untuk n = 2        

                               

permutasi           invers                    hasil perkalian elementer bertanda

    (1,2)                     0                                                            a11 a22

    (2,1)                     1                                                            -a12 a21

Jadi,det (A) = a11 a22 – a12 a21

2.            Menghitung Determinan dengan Operasi Baris Elementer

Determinan suatu matriks dapat di hitung dengan menggunakan operasi baris elementer yang telah di perkenalkan pada bab sebelumnya .Perhitungan determinan suatu matriks dapat di lakukan dengan mudah apabila kita mengenal sifat-sifat atau teorema yang berhubungan dengan determinan.Teorema-teorema yang berhubungan denga determinan adalah sebagai berikut :

Teorema 1.Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan memuat sebuah baris (kolom)  yang elemenya semua nol,maka det(A) = 0.

                Contoh :

                                                1   2        1    -1

                                 det        3   -1       2     0     = 0

                                                0    0       0     0

                                                -1  -1      2     1    

Teorema 2.Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x n dan terdapat 2 baris (kolom) yang sama maka,det A = 0.

Contoh :

                                                1    -2        3    4

                                 det        -2    2      4     4      = 0

                                                1     1      -1    2

                                                1    -2        3    4

Teorema 3.

Jika A adalah matriks segitiga (atas/bawah) yang berukuran n x n,maka det(A) adalah hasil dari perkalian elemen-elemen di agonal utama,yaitu det (A) = a11 a22 a 33 ...ann.

               

Contoh :

 1    0      0    0       0

1    1       -1    2                                                                                                     -1   -1     0    0       0

0    3       2    -2          = (1)(2)(-3)(2) = - 12     det                                         -3    2     -1   0       0   

0    0       -3    1                                                                                                        2    3     -1   2       0

0    0       0    2                                                                                         7    6    4    2       1                                                             

= (1)(-1)(-1)(2)(1) =2

Teorema 4.

Apabila A1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks A  yang sebuah baris/kolomnya di kalikan dengan konstanta k,maka det A1) = kdet(A).

                Contoh :

                                                                1   1        1

                                Bila A                     2   -1       2     ,maka kita dapat menghitung det(B)

                                                                1   -2       2

                                               

 

                                                                1    1       1

                                Untuk B                                4   -2       4   

                                                                1   -2       -4           

Jelas di hitung bahwa det (A) = 15,maka det (B) = 30 (sebab matriks B di peroleh dari A dengan baris ke dua dari matriks A di kalikan 2).

Teorema 5.

Apabila B1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks B ( bila dua baris matriks B di pertukarkan letak tempatnya,maka det(B1) = -det (B).

                Contoh :

                                                Coba tunjukkan dengan perkalian elementer bertanda apakah benar :

                               

1     -2    -4                             1     1      1

                det         2     -1      2     = -det           2    -1      2    = 15

                                1      1      1                             1     -2     -4

Teorema 6.

Jika C1 adalah matriks yang di hasilkan bila sebuah kelipatan suatu konstanta k ≠ 0 dari 1 baris (kolom) matriks C yang di tambahkan ke baris atau (kolom) yang lain,maka det (C1) = det (C).

                Contoh :

                                               

1    1       1                              1    1       1

                                det         0   -3       0      = det             2   -1       2     = 15

                                                1   -2       -4                            1   -2       -4

Sebab matriks di atas di hasilkan dari matriks A dengan operasi baris elementer yang ke tiga,yaitu R2       R2 + (2) R1 atau perkalian konstanta (2) terhadap baris satu yang di tambahkan ke baris 2.

Dan akhirnya dari teorema 1 sampai dengan teorema 6,kita akan dapat menghitung determinan matriks dengan lebih cepat secara manual.

9 MATRIKS SINGULAR DAN NON-SINGULAR

a)            Matriks singular

Matriks singular adalah matriks yang determinannya sama dengan nol. Matriks singular tidak punya invers. Contoh matriks singular:

 

  karena  karena  

b)            Matriks non-singular

Matriks non-singular adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Matriks nonsingular mempunyai invers.

Contoh matriks nonsingular:

 maka

10 RANK MATRIKS  {r(A)}

Matriks A yang bukan matriks nol dikatakan mempunyai rank jika salah satu minor r x r ≠ 0.  r(A) ≠ 0

A =

Dikatakan matriks bujur sangkar dengan ordo terbesar yaitu 2x2.

misal  = -7 ≠ 0 maka r(A) = 2

B =

 = 5 ≠ 0 maka r(B) = 2

C =

 = 0

ordo diturunkan menjadi 2x2, ada yang nilai determinannya ≠ 0.

Maka r(C) = 2

D =

Semua minor 2x2 adalah  = 0

Ordonya diturunkan 1x1, ada yang  ≠ 0

Maka r(D) = 1

E =

Misal E diambil minor terbesar 3x3

 = 39 ≠ 0 maka r(E) = 3

11 MATRIKS INVERS

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika dengan , maka invers dari matriks A (ditulis ) adalah sebagai berikut:

Jika maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

• 
• 
• 

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks

Misalnya persamaan :

3x₁ + 4x₂ – 2x₃ = 5

X₁ – 5x₂ + 2x₃  = 7

2x₁ + x₂ - 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

• Menentukan determinan

Untuk menenetukan dua variable,ubahlah bentuk system persamaan linear dalam bentuk matriks berikut :

 ax + by = c                     a                   b                c

 px + qy = r                     p                  q                r    

 Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel

a. Menentukan Determinan

 Untuk menentukan determinan dari sistem persamaan linier dua variabel ubahlah sistem persamaan ke dalam bentuk matrik berikut

ax + by = c          a   b             c

px + qy = r         p    q            r

setelah diubah ke dalam matriks, tentukan nilai determinan" berikut :

d =    a    b

         p    q    = aq -bq

dx = (c   b)

         (r   q)  = cq -br

dy = (a   c)

        (p    r)  = ar - cp

setelah menentukan determinan, carilah nilai x, y, dan z menggunakan rumus

 x = dx/d , y = dy/d, z dz/d

Ax = B    X = A-1. B

Bx = A   X = B-1. A

menentukan hasil persamaan linear dengan invers matriks

contoh  1

1)      Tentukan nilai P dari persamaan :

3      2              P =          6

        1      1                              4

Jawab!!!

P =          3              2              ^-1              6

                1              1                                4

   =                          1                              1              -2              6

                     3.1 – 2.1                          -1            3                4

 

  =           1                              1.6 – 2.4                        6 - 8

         3     -   2                         -1.6 + 3.4                    -6 + 12

  =           -2

                 6

_{contoh 2 :}

diketahui persamaan linear

2x – 3y = 6

  X + 4y = 12

Tentukan nilai X dan Y dengan menggunakan invers matriks !

Jawab!!!

   2           -3            x                     6

  1            4              y                     12

  x                            2. -3       ^-1   6

  y                              1. 4            12

           1                     4.6 + 3.12

        8 + 3                 -1.6 + 2.12

 

1                       24 + 36

                11                      -6 + 24

1                  60                         60 / 11                   5 ^5/11

 11            18                           18 / 11                   1 ^7/11

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z­­­­­

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6

y + z = 3

z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x + 2y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

^{Eliminasi Gauss}

^{Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.}

^{contoh :}

^{suatu system persamaan linear}

^{kita tuliskan persamaan linear diatas dalam bentuk matriks}