Matriks oleh Abdul
Rahman 12 321 261
1 Pengertian
adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang
disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu
matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi
matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya
misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan
lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti
dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.
2 Operasi
dasar matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks
Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan
apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang
dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.
atau dalam representasi dekoratfinya
Perkalian skalar
Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.
Perkalian Matriks
Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan
dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.
3 Transfose matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah
mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan
yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
A = ditranspose menjadi AT =
B = ditranspose menjadi BT =
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)T)T = A
2. (A + B)T = AT + BT dan (A − B)T = AT − BT
3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar
4. (AB)T = BTAT
4 Matriks-Matriks Khusus
4 Beberapa macam
matriks khusus yang perlu kalian kenal adalah sebagai berikut.
a. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu
baris.
Misalnya:
P = [3 2 1]
Q = [4 5 –2 5]
b. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu
kolom, Misalnya:
Matriks Kolom
c. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan
banyak kolom. Jika banyak baris matriks persegi A adalah n maka banyaknya kolom
juga n, sehingga ordo matriks A adalah n × n. Seringkali matriks A yang berordo
n × n disebut dengan matriks persegi ordo n. Elemen-elemen a11, a22, a33, ...,
ann merupakan elemen-elemen pada diagonal utama.
Misalnya:
A = Matriks Persegi merupakan matriks persegi ordo 2.
B = Matriks Persegi merupakan matriks persegi ordo 4.
Elemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 1 dan 10,
sedangkan pada matriks B adalah 4, 6, 13, dan 2.
d. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen
yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0 (nol), sedangkan elemen
pada diagonal utamanya tidak semuanya nol. Misalnya:
Matriks Diagonal
e. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks persegi dengan semua elemen
pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya semuanya 0 (nol). Pada
umumnya matriks identitas dinotasikan dengan I dan disertai dengan ordonya.
Misalnya:
Matriks Identitas
f. Matriks Nol
Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah
0 (nol). Matriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya, Om ×
n
4 Transpose Suatu
Matriks
Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang
diperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan
sebaliknya, sehingga berordo n × m. Notasi transpose matriks m n A × adalah .
Yang dimaksud dengan Transpos dari suatu matriks adalah
mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan
yang kolom di ubah menjadi baris.
5 TRANSFORMASI
ELEMENTER Dan MATRIKS EKUIVALEN
5.1 TRANSFORMASI
ELEMENTER
Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu
matriks A adalah sebagai berikut.
Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran
kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan
Kij(A) untuk transformasi kolom.
K13(A) berarti
menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3
2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar
h¹0, ditulis Hi(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k¹0, ditulis
Ki(k)(A).
3. Menambah kolom
ke-i dengan k kali koom ke-j, ditulis Kij(k)(A) dan menambah baris ke-i dengan
h kali baris ke-j, ditulis Hij(h)(A).
5.2 MATRIKS EKUIVALEN
Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila
salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi
elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi
pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi
pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM.
6 Sifat - Sifat
Determinan
Diberikan beberapa sifat penting dari determinan :
det(A) = det(AT)
(Baca : determinan
A sama dengan determinan A transpose)
Tanda determinan
berubah apabila dua baris atau kolom ditukar tempatnya
Harga determinan
menjadi λ kali, bila suatu baris atau
kolom dikalikan dengan λ (suatu skalar)
Harga determinan
tidak berubah apabila baris atau kolom ke-i ditambah dengan λ baris atau kolom
ke-j
7 Minor dan Kofaktor
Definisi :
Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor aij dinyatakan
oleh Mij adalah submatriks A yangdidapat dengan jalan menghilangkan baris ke-i
dan kolom ke - j.
Kofaktor aij dinyatakan oleh Cij didefinisikan sebagai: Cij
= (-1)I + j .Mij.
Determinan suatu matriks
kuadrat A dapat
juga dihitung dengan
menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris/kolom.
Teorema :
Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung
dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan
kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan, yaitu untuk
setiap 1£ i £ n dan 1£ j £ n, maka 
Jawab: jika det(A) dihitung menggunakan ekspansi kofaktor
sepanjang kolom 1, maka 
Definisi :
Jika A sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij,
maka matriks 
dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan
adjoin A ditulis adj(A)
8 Menghitung Nilai
Determinan
1. Menghitung Determinan dengan Perkalian Elementer
Pada
bagian ini kita akan membahas tentang determinan dan cara mencarinya.Determinan
merupakan nilai yang paling penting dalam perhitungan matriks.Definisi-definisi
maupun teorema yang penting yang berhubungan dengan pencarian matriks.
Definisi 1.
Sebuah permutasi dari himpunan bilangan bulat positif
{1,2,3, . . . .,n} adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut aturan
tertentu “tanpa menghilangkan” “tanpa mengurangi” bilangan bulat tersebut.
Contoh
1.
• Permutasi
dari {1,2} adalan (1,2) dan (2,1).
• Permutasi
dari {1,2,3} adalah (1,2,3),(3,1,2),(2,3,1),(2,1,3),(1,3,2),dan (3,2,1).
Dari definisi permutasi,apabila ada 4 bagian,maka banyaknya
permutasi adalah 24 buah.Hal ini dapat di hitung dari rumus n.
Dapat dilihat untuk n = 2,maka ada 2 permutasi.Untuk n =
3,maka ada 6 = 3.2.1 permutasi.Untuk n = 4,maka ada 24 = 4.3.2.1 permutasi.
Contoh
2.
Tentukan
jumlah inversi dari permutasi berikut :
a. (6,5,3,1,4,2)
b. (2,4,1,3)
c. (1,2,3,4)
Penyelesaian :
• Jumlah
inversi/pembalik : 5 + 4 + 2 + 0 + 1 + = 12
• Jumlah
inversi/pembalik : 1 + +2 + 0 =3
• Tidak ada
inversi/pembalik dalam permutasi ini
Definisi 2.
Dalam permutasi,di katakan terjadi sebuah inversi apabila
sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan yang lebih
kecil.
Contoh
:Kita akan menghitung inversi dalam
dalam permutasi (2,4,1,3).caranya sebuah berikut :
Banyak nya bilangan bulat lebih kecil daripada j1 = 2 dan
mengikuti (yaitu j3 = 1),dapat di lihat pada permutasi (2,4,1,3).Dalam
permutasi tersebut j1 = 2 , j2 = 4, j3 = 1, dan j4 = 3.
Banyak nya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j2 = 4 dan mengikutinya,ada dua ( yaitu j3 =
1 dan j4 = 3).
Banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil daripada j3 = 1 dan mengikutinya adalah nol.
Sehingga banyaknya inversi dalam permutasi ini adalah 1 + 2
+ 0 = 3
Definisi 3.
Sebuah permutasi di namakan permutasi genap jika banyaknya
inversi dalam permutasi tersebut genap.Sebaliknya sebuah permutasi di namakan
permutasi ganjil jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut ganjil.
Contoh :
Permutasi (2,4,1,3) adalah permutasi ganjil karena banyaknya
inversi dalam permutasi tersebut ganjil.sementara itu ,permutasi (1,2,3,4,5,6)
adalah permutasi genap.
Contoh .Tabel berikut merupakan klasifikasi berbagai
permutasi dari {1,2,3} sebagai genap atau ganjil
|
Permutasi
|
Jumlah Inversi
|
klasifikasi
|
|
(1,2,3)
(1,3,2)
(2,1,3)
(2,3,1)
(3,1,2)
(3,2,1)
|
0
1
1
2
2
3
|
Genap
Ganjil
Ganjil
Genap
Genap
Ganjil
|
4. Definisi
Hasil perkalian elementer matriks A yang berukuran n x n
adalah hasil perkalian elemen-elemen tersebut berasal dari baris yang sama atau
kolom yang sama.
Contoh
: 
Hasil perkalian
elemen matriks A yang berukuran 4 x 4 adalan a31 a22 a43 a14.
Hasil perkalian
elemen matriks A yang berukuran 4 x 4 adalan a31 a22 a43 a14.
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Sementara itu ,a11,a12,a23,a34 adalah bukan hasil perkalian
elementer sebab bentuk a11,a12,a23,a34 mempunnyai elemen pada baris yang
sama,yaitu elemen a11 dan a12 terletak pada baris yang sama. Cara mencari
seluruh hasil perkalian elementer dalam matriks A yang berukuran n x n adalah
sebagai berikut.
1. Tulislah
bentuk a1.,a2.,a3.,....,an.
2. Tanda
dalam bentuk tersebut di ganti dengan seluruh permutasi (j1,j2,j3,....jn) maka
tentulah di dapat n.
Hasil perkalian
elementer.
Contoh : a11
a12 a13
Dipunyai
matriks a = a21 a22 a23
a31
a32 a33
maka kita tuliskan a1.,a2.,a3. Dan permutasi-permutasi dari
n = 3 adalah :
(1,2,3,) (2,1,3) (3,1,2)
(1,3,2) (2,3,1) (3,2,1)
Hasil perkalian elemennya adalah :
(1,2,3) a11
a22 a33
(2,1,3) a12
a21 a33
Definisi 5.
Sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah
sebuah hasil perkalian elementer (a1.,a2.,...an) yang di kalikan dengan + 1
jika permutasi nya genap dan dikalikan dengan – 1 jika permutasinya ganjil.
Contoh
:Untuk matrisk A yang berukuran 3 x 3,maka hasil perkalian bertanda dari a11
a23 a 32 adalah – a11 a23 a32 (karena permutasi yang bersesuaian adalah
(1,3,2) yang merupakan permutasi ganjil.
Definisi 6.
A adalah matriks bujur sangkar.Determinan matriks A yang di
simbolkan det (A) dapat di definisikan
sebagai jumlahan semua hasil perkalian elementer bertanda dari matriks A.
Definisi di atas apabila di notasikan akan berbentuk :
Det(A) = ∑ ± a1j1 a2j2 a3j3 . . .an jn
(j1j2jn)
Contoh :
Hasil untuk pencarian determinan
akan di jabarkan dalam bagian berikut ini :
Untuk n = 2
permutasi invers hasil perkalian elementer
bertanda
(1,2) 0 a11
a22
(2,1) 1 -a12
a21
Jadi,det (A) = a11 a22 – a12 a21
2. Menghitung
Determinan dengan Operasi Baris Elementer
Determinan suatu matriks dapat di hitung dengan menggunakan
operasi baris elementer yang telah di perkenalkan pada bab sebelumnya
.Perhitungan determinan suatu matriks dapat di lakukan dengan mudah apabila
kita mengenal sifat-sifat atau teorema yang berhubungan dengan determinan.Teorema-teorema
yang berhubungan denga determinan adalah sebagai berikut :
Teorema 1.Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x
n dan memuat sebuah baris (kolom) yang
elemenya semua nol,maka det(A) = 0.
Contoh :
1 2 1 -1
det 3 -1 2 0
= 0
0 0 0 0
-1 -1 2 1
Teorema 2.Apabila A adalah suatu matriks yang berukuran n x
n dan terdapat 2 baris (kolom) yang sama maka,det A = 0.
Contoh :
1 -2 3 4
det -2 2
4 4 = 0
1 1
-1 2
1 -2 3 4
Teorema 3.
Jika A adalah matriks segitiga (atas/bawah) yang berukuran n
x n,maka det(A) adalah hasil dari perkalian elemen-elemen di agonal utama,yaitu
det (A) = a11 a22 a 33 ...ann.
Contoh :
1 0 0
0 0
1 1 -1
2
-1 -1 0 0 0
0 3 2 -2
= (1)(2)(-3)(2) = - 12
det -3 2 -1
0 0
0 0 -3
1 2 3 -1
2 0
0 0 0
2 7 6 4 2 1
= (1)(-1)(-1)(2)(1) =2
Teorema 4.
Apabila A1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks A yang sebuah baris/kolomnya di kalikan dengan
konstanta k,maka det A1) = kdet(A).
Contoh :
1 1 1
Bila
A 2 -1 2 ,maka kita dapat menghitung det(B)
1 -2 2
 |
1 1 1
Untuk
B 4 -2 4
1 -2 -4
Jelas di hitung bahwa det (A) = 15,maka det (B) = 30 (sebab
matriks B di peroleh dari A dengan baris ke dua dari matriks A di kalikan 2).
Teorema 5.
Apabila B1 adalah matriks sebagai hasil dari matriks B (
bila dua baris matriks B di pertukarkan letak tempatnya,maka det(B1) = -det
(B).
Contoh
:
Coba
tunjukkan dengan perkalian elementer bertanda apakah benar :
1 -2
-4 1 1 1
det 2
-1 2 = -det 2 -1
2 = 15
1 1
1 1 -2 -4
Teorema 6.
Jika C1 adalah matriks yang di hasilkan bila sebuah
kelipatan suatu konstanta k ≠ 0 dari 1 baris (kolom) matriks C yang di
tambahkan ke baris atau (kolom) yang lain,maka det (C1) = det (C).
Contoh
:
1 1 1 1 1
1
det 0
-3 0 = det 2 -1
2 = 15
1 -2 -4 1 -2 -4
Sebab matriks di atas di hasilkan dari matriks A dengan
operasi baris elementer yang ke tiga,yaitu R2 R2
+ (2) R1 atau perkalian konstanta (2) terhadap baris satu yang di tambahkan ke
baris 2.
Dan akhirnya dari teorema 1 sampai dengan teorema 6,kita
akan dapat menghitung determinan matriks dengan lebih cepat secara manual.
9 MATRIKS SINGULAR
DAN NON-SINGULAR
a) Matriks
singular
Matriks singular adalah matriks yang determinannya sama
dengan nol. Matriks singular tidak punya invers. Contoh matriks singular:
karena karena 
b) Matriks
non-singular
Matriks non-singular adalah matriks yang determinannya tidak
sama dengan nol. Matriks nonsingular mempunyai invers.
Contoh matriks nonsingular:
maka 
10 RANK MATRIKS {r(A)}
Matriks A yang bukan matriks nol dikatakan mempunyai rank
jika salah satu minor r x r ≠ 0. r(A) ≠
0
A = 
Dikatakan matriks bujur sangkar dengan ordo terbesar yaitu
2x2.
misal 
= -7 ≠ 0 maka r(A) = 2
= -7 ≠ 0 maka r(A) = 2
B = 
= 5 ≠ 0 maka r(B) = 2
C = 
= 0
ordo diturunkan menjadi 2x2, ada yang nilai determinannya ≠
0.
Maka r(C) = 2
D = 
Semua minor 2x2 adalah 
= 0
= 0
Ordonya diturunkan 1x1, ada yang ≠ 0
≠ 0
Maka r(D) = 1
E = 
Misal E diambil minor terbesar 3x3 
= 39 ≠ 0 maka r(E) = 3
11 MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku 
maka
dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis 
.
Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular,
sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
maka
dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis .
Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular,
sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba
perhatikan berikut ini.
Jika
dengan 
,
maka invers dari matriks A (ditulis ) adalah
sebagai berikut:
Jika
dengan ,
maka invers dari matriks A (ditulis ) adalah
sebagai berikut:
Jika 
maka
matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.
maka
matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.
Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:
Persamaan
linear dapat dinyatakan sebagai matriks
Misalnya
persamaan :
3x1 +
4x2 – 2x3 = 5
X1 –
5x2 + 2x3 = 7
2x1
+ x2 - 3x3 = 9
dapat
dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
- Menentukan determinan
Untuk menenetukan
dua variable,ubahlah bentuk system persamaan linear dalam bentuk matriks
berikut :
ax + by
= c a b c
px + qy = r p q
r
Menyelesaikan sistem persamaan linier dua
variabel
a.
Menentukan Determinan
Untuk menentukan determinan dari sistem
persamaan linier dua variabel ubahlah sistem persamaan ke dalam bentuk matrik
berikut
ax + by = c a
b c
px + qy =
r p q
r
setelah
diubah ke dalam matriks, tentukan nilai determinan" berikut :
d =
a b
p
q = aq -bq
dx =
(c b)
(r
q) = cq -br
dy =
(a c)
(p
r) = ar - cp
setelah
menentukan determinan, carilah nilai x, y, dan z menggunakan rumus
x = dx/d , y = dy/d, z dz/d
|
|
contoh 1
1) 
Tentukan nilai P dari persamaan :
Tentukan nilai P dari persamaan :
3 2 P = 6
1 1 4
Jawab!!!
P = 3 2 -1 6
1 1 4
= 1 1 -2 6
3.1 – 2.1 -1 3
4
 |
 |
||
= 1
1.6 – 2.4 6 - 8
3 - 2 -1.6 + 3.4 -6 + 12
= -2
6
contoh 2 :
diketahui
persamaan linear
2x – 3y = 6
X + 4y = 12
Tentukan
nilai X dan Y dengan menggunakan invers matriks !
Jawab!!!
2 -3 x 6
1 4 y
12
x 2. -3 -1 6
y 1. 4 12
1 4.6 + 3.12
8 + 3 -1.6 +
2.12 |
1
24 + 36
11 -6 + 24
1 60 60 /
11 5 5/11
11
18 18 / 11 1 7/11
Contoh:
Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x +
y + 2z = 12
Tentukan Nilai
x, y dan z
Jawab:
Bentuk
persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian
lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai
dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Jadi nilai
dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan
langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena
matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan
linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
contoh :
suatu system persamaan linear 
kita tuliskan persamaan linear diatas dalam
bentuk matriks
No comments:
Post a Comment